Пифагорейское учение о гармонии
Если уменьшить длину струны или флейты вдвое, тон повысится на одну октаву. Совершенно так же, если уменьшить в отношении 3/2 и 4/3, то этому будут соответствовать интервалы квинта и кварта.
Для пифагорейцев получило первостепенное значение то, что эти важнейшие гармонические интервалы могут быть получены при помощи отношений чисел 1, 2, 3 и 4. Это было как бы подтверждением их основного принципа "Все есть число" или "Все упорядочивается в соответствии с числами".
Сами эти числа 1, 2, 3 и 4 составляли знаменитую "тетраду". Очень древнее изречение гласит: "Что есть оракул дельфийский? Тетрада! Ибо она есть музыкальная гамма сирен".
Геометрически тетрада изображалась "совершенным треугольником", арифметически — "треугольным числом" 1+2+3+4 = 10.
Лукиан рассказывает, что однажды Пифагор попросил кого-то считать, и как только человек этот произнес: "1, 2, 3, 4", Пифагор прервал его: "Видишь, — сказал он, — то, что ты называешь четырьмя, есть не что иное, как 10, совершенный треугольник и клятва наша".
Пифагорейцы, действительно, клялись "тем, кто вложил в нашу душу тетраду, — источник и корень вечной природы". Эти изречения и эта форма клятвы, действительно, являются древними; и поэтому тетраду, треугольные числа и численные отношения в гармонических интервалах мы, пожалуй, должны приписать самому Пифагору.
Умирая, Пифагор настоятельно советовал своим последователям "изучать монохорды". Согласно Гауденцию, история этого музыкального инструмента такова. Пифагор разделил линейку на 12 частей и натянул на нее струну. Укорачивая струну длиной в 12 делений до 6, 8 и 9, т. е. в отношениях 2:1, 3:2 и 4:3, он получал тоны, которые были выше на одну октаву, квинту или кварту (о тетраде, ассоциированной с числами 6, 8, 9, 12, см. здесь и здесь).
Эти самые числа 6, 8, 9, 12 встречаются почти у всех пифагорейских и неопифагорейских писателей по теории музыки. Все эти авторы определяют средние члены 9 и 8 как арифметическую и гармоническую средние между крайними членами 12 и 6.
Большей частью числом 12 обозначали высший тон, а числом 6 — низший, т. е. не прямо, а обратно пропорционально длинам струн. Что эти числа обозначали эмпирически? По-видимому, для пифагорейцев было не так существенно, обозначают ли они длины струн, или их натяжения, или скорости. Самое важное было в том, что появлялись правильные отношения для гармонических интервалов, например,
12:9 = 8:6 для кварты и 12:8 = 9:6 для квинты, как преподавал Учитель.
Традиция, приписывающая Пифагору вычисление интервалов диатонической гаммы, также заслуживает доверия; это были целый тон (9:8) и большой полутон или "леймма" (256:243); действительно, эти соотношения могут быть получены из октавы (2:1), квинты (3:2) и кварты (4:3) при помощи последовательных делений:
(3/2):(4/3) = (9/8), (4/3):(9/8) = (32/27), (32/27):(9/8) = (256/243).
Пифагор открыл законы гармонии и гармонические отношения между звуками.
Пребывая однажды в состоянии озабоченности и напряженного размышления, не сможет ли он придумать для слуха какое-нибудь подспорье, надежное и не вводящее в заблуждение, как, например, придумали для глаза измерение с помощью циркуля, а для осязания — взвешивание на весах и систему мер, Пифагор, прогуливаясь возле кузницы, по какой-то счастливой случайности прислушался к ударам молотков, кующих железо на наковальне и издающих попеременно друг за другом гармоничнейшие звуки, кроме одного парного сочетания.
Он различил в них созвучие, возникающее при всех ударах, затем на каждом пятом и каждом четвертом; промежуток же между двумя последними интервалами сам по себе не образовывал созвучия, но, вписываясь иначе в их отношение, довершал общее созвучие.
Радуясь, словно догадка была внушена ему богом, он вбежал в кузницу и, проделав самые разнообразные опыты, установил, что различие звуков зависит от массы молотков, а не от силы удара и формы пятки у молотка и не от изменения положения железа, которое ковали.
Точно определив вес молотков и то, что наклонение их при ударе происходит совершенно одинаково, он удалился к себе домой и, привязав к одному-единственному гвоздю, вбитому под углом в стену, четыре струны из одинакового материала и равного числа элементов, имевшие одинаковую толщину и направленные в одну сторону, расположил эти струны одну вслед за другой, подвесив к ним разные по количеству грузы, но сохранив при этом совершенно равную их длину.
Затем, ударяя поочередно по паре струн, он нашел созвучия, о которых говорилось выше, — в каждой паре струн они были различными. Он установил, что между струной, к которой прикреплен самый большой вес, и струной, к которой прикреплен наименьший вес, образуется интервал в октаву, так как к первой было подвешено 12 гирек, а ко второй — 6. Он открыл, что октаве свойственно отношение 2:1, что подтверждало и весовое соотношение гирек.
Между струной с самым большим весом и ближайшей к той, которая была самой легкой по весу, имевшей 8 гирек, было полуторное отношение и интервал в квинту.
Между струной с самым большим весом и следующей, к которой был прикреплен вес, больший, чем к двум предыдущим, а именно — 9 гирек, интервал был в кварту, аналогично тяжестям. Таким образом он обнаружил отношение 4:3 и одновременно то, что струна находится со струной с наименьшим весом в полуторном отношении, так, как 9 относится к 6.
Равным образом струна, следующая за струной с наименьшим весом, к которой было прикреплено 8 гирек (меса), образовывала с ней, имевшей 6 гирек (гипата), отношение 4:3, а с той, которая имела их 12, находилась в полуторном отношении (2:3).
Промежуток между квинтой и квартой, на который квинта больше кварты, он обнаружил в отношении 9:8, в котором находились струна с девятью гирьками и струна с восемью (то есть один тон).
И с той, и с другой стороны, от квинты и кварты, открылся звукоряд в октаву: если начинать с квинты, то квинта в соединении с квартой дала октаву — так же, как двойное отношение составляется из полуторного и отношения (4:3), что показывает и соотношение чисел 12, 8 и 6 между собой.
Или, если начинать наоборот с кварты, то теперь уже кварта в соединении с квинтой давала октаву — так же, как двойное отношение и на этот раз составляется из отношения (4:3) и полуторного (но поменявшись местами), что и показывает соотношение чисел 12, 9 и 6 между собою.
Усовершенствовав руку и слух на определении весов и звуков и открыв их соотношения, Пифагор искусно перенес общее для всех струн крепление с вбитого под углом гвоздя на ту часть инструмента, которую он назвал хордотоном, а необходимое натяжение струн, аналогично подвешиваемым тяжестям, производили теперь размеренно поворачивающиеся в верхней части инструмента колки.
Пользуясь таким образом как бы безошибочным указателем, он распространил впоследствии свой опыт на самые разные инструменты: цимбалы, флейты, свирели, монохорды, тригон и похожие на них — и нашел во всех них отношения гармонии и неизменные числовые соответствия.
Назвав звук, связанный с числом 6, гипатой, с числом 8 — месой, следующий за месой, выражающийся числом 9 и звучащий тоном выше, чем меса, — парамесой, а тот звук, которому соответствовало число 12, — нэтой и заполнив промежутки аналогичными звуками согласно диатонической последовательности, он подчинил, таким образом, октахорд числовой гармонии, наблюдавшейся при отношениях 2:1, 3:2, 4:3 и отличном от них отношении 9:8.
Таким образом, он обнаружил в диатонической последовательности тонов продвижение с некоторой естественной необходимостью от самого низкого звука к самому высокому. Отсюда же, из диатонического наклонения, он вывел хроматическое и энгармоническое наклонение.
Диатоническое наклонение содержит следующие ступени и такое естественное продвижение: полутон, тон, еще тон, и это есть кварта (соединение двух тонов и полутона). Затем, с прибавлением другого тона, вставленного в середину, образуется квинта (соединение трех тонов и полутона). Затем после этого следуют полутон, тон и еще тон — другая кварта, то есть другое отношение (4:3).
Поэтому у более древнего гептахорда, начиная с самого низкого звука, все четвертые друг от друга звуки образовывали созвучие через весь звукоряд в кварте, так как полутон при переходе занимал соответственно первое, среднее и третье места тетрахорда.
В пифагорейском октахорде либо в результате соединения тетрахорда с пентахордом, либо в соответствии с несовпадением двух тетрахордов, отделенных друг от друга тоном, от самого низкого звука к самому высокому будет наблюдаться продвижение такого рода, что каждый пятый из звуков образует друг с другом созвучие и интервал в квинту, так как полутон в результате последовательного перехода занимает первое, второе, третье и четвертое места.
Вот так, рассказывают, открыл Пифагор теорию музыкального искусства и, подчинив ее определенным законам, передал ученикам.